山下菜々子
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ノルムと絶対値の違いを知るための第一歩
ノルムと絶対値は、数学の世界で「長さ」や「距離」を測るときの基本的な考え方です。日常の感覚に近い言葉でも、数学では厳密な条件を満たす必要があります。
ここでは、1次元の数直線だけでなく、2次元・3次元など多次元の世界にも対応するノルムと、1次元の絶対値という基本的な道具の違いを、身近な例とともにじっくり見ていきます。
理解のコツは「ノルムが多次元に広がる長さの考え方で、絶対値はその1次元版だ」という見方です。
ノルムとは何か
ノルムとは、ベクトルの「大きさ」を表す数学的な量のことを指します。ベクトルとは大きさだけでなく方向を持つ量のことで、例えば(3,4)のように2つの数で表されます。
ノルムはこのベクトルの長さ、つまり原点からその点までの距離を測る道具です。最も基本的な例として、2次元平面ではユークリッドノルムと呼ばれる長さの計算が使われます。これはピタゴラスの定理に基づき、√(x^2 + y^2)という式で求められます。
特定の次元に依存せず、「スカラー倍したときの性質」や「足し合わせたときの性質」を満たすように設計されているのがノルムの特徴です。
なお、1次元のノルムは実質的に絶対値と同じ意味になります。
このことは、ノルムが多次元の長さの一般化であるという考え方の「起点」になります。
絶対値とは何か
絶対値は、数直線上での「距離」を表すときに使われる最も基本的な測定量です。実数xに対して|x|は、xが正のときはそのままの値、負のときは-x、つまり正の値になります。
絶対値の意味を日常に落とすと、0からその数までの距離です。例えば |-7| は 7、|3| は 3 です。
絶対値は常に非負で、三角不等式のような性質も満たします。
ノルムの中で唯一の「次元が1つだけ」の感覚を持ち、ノルムのより基本的な実例と言えます。
ノルムと絶対値の違いを理解するコツ
大切なポイントは、ノルムが「多次元の長さ」を扱い、絶対値が「1次元の長さ」を扱うという点です。
ベクトルが (x,y) のように複数の成分を持つとき、ノルムは各成分の寄与を組み合わせて全体の長さを作ります。代表的なノルムには、Euclidean（L2ノルム） sqrt(x^2 + y^2) のほか、成分の絶対値を足し合わせる L1ノルム |x|+|y|、さらに各成分の寄与を最大値でとる L∞ノルムなどがあります。
一方、絶対値は1次元の長さだけを扱い、x の正負に左右されず常に非負の値になります。
この違いを理解すると、ベクトルとスカラーの区別、距離の計算、そしてさまざまなノルムの使い分けが自然と身につきます。
具体例と練習
1) ベクトル (3,4) のノルムを考えると、L2ノルムでは √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 になります。
2) 1次元の数 x = -7 の絶対値は |−7| = 7 です。これを用いて、距離の概念を concrete に理解できます。
3) もう一つの例として、L1ノルムでは |3| + |4| = 7、L∞ノルムでは max(|3|, |4|) = 4 となります。
このように、同じベクトルでもノルムの種類を変えると距離の測り方が変わる点が「違いの核心」です。
練習問題: (1) (1,2) のL2ノルムはいくらか、(2) (5, -1, 2) のL1ノルムはいくらか、(3) (0,0) のノルムはどうなるか、という３問を用意してみましょう。
友達と数学の勉強会をしていたときの会話です。『ノルムって難しそうだけど、結局は長さのことだよね？』と彼がつぶやくと、私は『そうだよ。1次元の長さは絶対値、2次元以上ではノルムとして長さを測る道具になるんだ』と説明しました。その場で(3,4)の長さを例に出して、L2ノルムが5になることを示しました。会話の途中で『絶対値とノルムの共通点は、どちらも「非負の量を返す」という点だね』と友人。彼は納得していませんが、例をいくつか見せてから、軸が増えるとどう変わるか視覚的なイメージをつかんでいきました。結論として、ノルムは多次元の距離、絶対値は1次元の距離、という整理が最初の一歩です。
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